QUA4 — quadrangle bilinéaire
Quadrangle à 4 nœuds, interpolation Lagrange-1 (produit tensoriel
\( Q1 \)). Interpolation bilinéaire : le gradient varie linéairement dans
l’élément. Peut être plongé dans une Coords 3-D (surface).
Repère de référence
\( \xi, \eta \in [-1, +1] \), sommets parcourus CCW.
| Nœud | \( (\xi_i, \eta_i) \) |
|---|---|
| 0 | \( (-1, -1) \) |
| 1 | \( (+1, -1) \) |
| 2 | \( (+1, +1) \) |
| 3 | \( (-1, +1) \) |
Fonctions de forme
Pour le nœud \( i \) de coordonnées de référence \( (\xi_i, \eta_i) \) :
\[ N_i(\xi, \eta) = \tfrac{1}{4}\,(1 + \xi_i\,\xi)\,(1 + \eta_i\,\eta). \]
Explicitement :
\[ \begin{aligned} N_0 &= \tfrac14(1-\xi)(1-\eta), & N_1 &= \tfrac14(1+\xi)(1-\eta), \\ N_2 &= \tfrac14(1+\xi)(1+\eta), & N_3 &= \tfrac14(1-\xi)(1+\eta). \end{aligned} \]
Dérivées de référence
\[ \frac{\partial N_i}{\partial \xi} = \tfrac14\,\xi_i\,(1 + \eta_i\,\eta), \qquad \frac{\partial N_i}{\partial \eta} = \tfrac14\,\eta_i\,(1 + \xi_i\,\xi). \]
Quadrature (défaut)
Produit tensoriel 2×2 de Gauss-Legendre, exacte au degré \( \le 3 \) par direction :
\[ \xi_g = \left(\pm\tfrac{1}{\sqrt 3}, \pm\tfrac{1}{\sqrt 3}\right), \qquad w_g = 1, \qquad \sum_g w_g = 4. \]