QUA9 — quadrangle biquadratique
Quadrangle à 9 nœuds, interpolation Lagrange-2 complète (\( Q2 \) tensoriel). Parent : QUA4, plus 4 milieux d’arête et un nœud central. Contrairement à la sérendipité QUA8, il porte le monôme \( \xi^2\eta^2 \).
Repère de référence
\( \xi, \eta \in [-1, +1] \).
| Nœud | \( (\xi, \eta) \) | rôle |
|---|---|---|
| 0..3 | \( (\pm1, \pm1) \) | sommets (CCW) |
| 4 | \( (0, -1) \) | milieu \( (0,1) \) |
| 5 | \( (+1, 0) \) | milieu \( (1,2) \) |
| 6 | \( (0, +1) \) | milieu \( (2,3) \) |
| 7 | \( (-1, 0) \) | milieu \( (3,0) \) |
| 8 | \( (0, 0) \) | centre |
Fonctions de forme
Produit tensoriel des fonctions de Lagrange quadratiques 1-D sur \( {-1, 0, +1} \) :
\[ \ell_{-}(t) = \tfrac12 t(t-1), \qquad \ell_{0}(t) = 1 - t^2, \qquad \ell_{+}(t) = \tfrac12 t(t+1), \]
et \( N_i(\xi, \eta) = \ell_a(\xi)\,\ell_b(\eta) \), où \( (\ell_a, \ell_b) \) sélectionne la position (\( -, 0, + \)) du nœud dans chaque direction. Ainsi le nœud central est \( N_8 = (1-\xi^2)(1-\eta^2) \).
Dérivées de référence
\[ \frac{\partial N_i}{\partial \xi} = \ell_a’(\xi)\,\ell_b(\eta), \qquad \frac{\partial N_i}{\partial \eta} = \ell_a(\xi)\,\ell_b’(\eta), \]
avec \( \ell_{-}‘(t) = t - \tfrac12 \), \( \ell_0’(t) = -2t \), \( \ell_{+}’(t) = t + \tfrac12 \).
Quadrature (défaut)
Produit tensoriel 3×3 de Gauss-Legendre (9 points), exacte au degré \( \le 5 \) par direction. \( \sum_g w_g = 4 \).
Notes
- Dimensions valides : \( d_r = 2 \), \( d_s \in {2, 3} \).
- Espace polynomial \( Q2 \) complet : reproduit exactement tout produit de polynômes de degré \( \le 2 \) par direction.