TET4 — tétraèdre linéaire

Tétraèdre à 4 nœuds, interpolation Lagrange-1. Élément 3-D simplicial ; interpolation affine, gradient et déformation constants par élément (analogue 3-D du TRI3). C’est l’élément produit par le mailleur de volume.

Repère de référence

Simplexe unité \( \xi, \eta, \zeta \in [0, 1] \), \( \xi + \eta + \zeta \le 1 \). Face 0-1-2 orientée CCW vue depuis le nœud 3.

Fonctions de forme

Coordonnées barycentriques \( L_0 = 1-\xi-\eta-\zeta \), \( L_1 = \xi \), \( L_2 = \eta \), \( L_3 = \zeta \) :

\[ N_0 = 1 - \xi - \eta - \zeta, \quad N_1 = \xi, \quad N_2 = \eta, \quad N_3 = \zeta. \]

Dérivées de référence

Constantes sur l’élément :

\[ \nabla_\xi N_0 = (-1,-1,-1), \quad \nabla_\xi N_1 = (1,0,0), \quad \nabla_\xi N_2 = (0,1,0), \quad \nabla_\xi N_3 = (0,0,1). \]

Quadrature (défaut)

Règle de Hammer à 4 points (exacte au degré \( \le 2 \)) : avec \( \alpha = \tfrac{5 - \sqrt5}{20} \) et \( \beta = \tfrac{5 + 3\sqrt5}{20} \), les points sont les permutations \( (\beta, \alpha, \alpha) \) et \( (\alpha, \alpha, \alpha) \),

\[ w_g = \tfrac{1}{24}, \qquad \sum_g w_g = \tfrac{1}{6}. \]

Notes

• Dimensions valides : \( d_r = d_s = 3 \).
• Élément à déformation constante (CST 3-D) : convergence lente en flexion, mais robuste et facile à mailler (Delaunay / Bowyer–Watson).
• Version quadratique : TET10.