TRI3 — triangle linéaire

Triangle à 3 nœuds, interpolation Lagrange-1. L’élément 2-D le plus simple ; interpolation affine, donc gradient et déformation constants par élément. Peut être plongé dans une Coords 3-D (surface).

Repère de référence

Simplexe unité \( \xi, \eta \in [0, 1] \), \( \xi + \eta \le 1 \), parcouru CCW.

Fonctions de forme

Ce sont les coordonnées barycentriques \( L_0 = 1-\xi-\eta \), \( L_1 = \xi \), \( L_2 = \eta \) :

\[ N_0 = 1 - \xi - \eta, \qquad N_1 = \xi, \qquad N_2 = \eta. \]

Dérivées de référence

Constantes sur l’élément :

\[ \nabla_\xi N_0 = (-1, -1), \qquad \nabla_\xi N_1 = (1, 0), \qquad \nabla_\xi N_2 = (0, 1). \]

Quadrature (défaut)

Règle de Hammer mid-edge à 3 points, exacte au degré \( \le 2 \) :

\[ \xi_g \in \left\{ \left(\tfrac12, 0\right), \left(\tfrac12, \tfrac12\right), \left(0, \tfrac12\right) \right\}, \qquad w_g = \tfrac{1}{6}, \qquad \sum_g w_g = \tfrac12. \]

Notes

• Dimensions valides : \( d_r = 2 \), \( d_s \in {2, 3} \) (triangle plan ou plongé dans l’espace — c’est ce que produit triangulate_surface sur un contour 3-D).
• Gradient constant : un seul point de Gauss suffirait pour un champ affine, mais la règle à 3 points intègre exactement la masse (\( \int N_i N_j \), de degré 2).
• Version quadratique : TRI6.