QUA8 — quadrangle sérendipité
Quadrangle à 8 nœuds, interpolation Lagrange-2 sérendipité (arêtes seulement, pas de nœud central). Parent : QUA4, plus 4 nœuds de milieu d’arête. Variante complète (avec nœud central) : QUA9.
Repère de référence
\( \xi, \eta \in [-1, +1] \). Sommets 0..3 (comme QUA4), milieux 4..7.
| Nœud | \( (\xi, \eta) \) | rôle |
|---|---|---|
| 0..3 | \( (\pm1, \pm1) \) | sommets (CCW) |
| 4 | \( (0, -1) \) | milieu \( (0,1) \) |
| 5 | \( (+1, 0) \) | milieu \( (1,2) \) |
| 6 | \( (0, +1) \) | milieu \( (2,3) \) |
| 7 | \( (-1, 0) \) | milieu \( (3,0) \) |
Fonctions de forme
Sommets (\( (\xi_i, \eta_i) \in {-1,+1}^2 \)) :
\[ N_i = \tfrac14\,(1 + \xi_i\xi)(1 + \eta_i\eta)\,(\xi_i\xi + \eta_i\eta - 1). \]
Milieux d’arête :
\[ \begin{aligned} N_4 &= \tfrac12(1 - \xi^2)(1 - \eta), & N_5 &= \tfrac12(1 + \xi)(1 - \eta^2), \\ N_6 &= \tfrac12(1 - \xi^2)(1 + \eta), & N_7 &= \tfrac12(1 - \xi)(1 - \eta^2). \end{aligned} \]
Dérivées de référence
Obtenues par dérivation directe des expressions ci-dessus (formes analytiques recoupées par différences finies dans les tests). Par exemple pour le milieu 4 : \( \partial_\xi N_4 = -\xi(1-\eta) \), \( \partial_\eta N_4 = -\tfrac12(1-\xi^2) \).
Quadrature (défaut)
Produit tensoriel 3×3 de Gauss-Legendre (9 points), exacte au degré \( \le 5 \) par direction. \( \sum_g w_g = 4 \).
Notes
- Dimensions valides : \( d_r = 2 \), \( d_s \in {2, 3} \).
- Sérendipité : 8 nœuds au lieu de 9 pour QUA9 — une inconnue de moins par élément, mais l’espace polynomial n’est pas le \( Q2 \) complet (le monôme \( \xi^2\eta^2 \) manque).