PENTA15 — prisme quadratique sérendipité

Prisme à 15 nœuds, interpolation Lagrange-2 sérendipité. Parent : PENTA6, plus 9 nœuds de milieu d’arête (aucun nœud de face ni de volume). Interpolation quadratique dans le triangle et selon \( \zeta \).

Repère de référence

Triangle \( (L_1, L_2, L_3) \) extrudé sur \( \zeta \in [0, 1] \) (noté \( t \) ci-dessous). Sommets 0..5 (comme PENTA6), puis milieux : bas 6..8 (\( (0,1),(1,2),(2,0) \)), haut 9..11 (\( (3,4),(4,5),(5,3) \)), verticaux 12..14 (\( (0,3),(1,4),(2,5) \), à \( \zeta = \tfrac12 \)).

Fonctions de forme

Avec \( L_1 = 1-\xi-\eta \), \( L_2 = \xi \), \( L_3 = \eta \) et \( t = \zeta \) :

Sommets (bas \( \zeta=0 \) / haut \( \zeta=1 \)) — profil quadratique dans le triangle et correction sérendipité en \( t \) :

\[ \begin{aligned} N^{\text{bas}}_i &= L_i(2L_i-1)(1-t) - 2 L_i\,t(1-t), \\ N^{\text{haut}}_i &= L_i(2L_i-1)\,t - 2 L_i\,t(1-t). \end{aligned} \]

Milieux d’arête du triangle (bas puis haut) :

\[ N = 4 L_a L_b\,(1-t) \quad(\text{bas}), \qquad N = 4 L_a L_b\,t \quad(\text{haut}). \]

Milieux verticaux (sur les sommets du triangle, \( \zeta = \tfrac12 \)) :

\[ N = 4 L_i\,t(1 - t). \]

Dérivées de référence

Dérivation directe des expressions ci-dessus (gradients de \( L_i \) constants, dérivée en \( t \) portée par les facteurs \( (1-t) \), \( t \), \( t(1-t) \)) ; formes analytiques recoupées par différences finies.

Quadrature (défaut)

Produit tensoriel de la règle TRI6 (6 points) par Gauss à 3 points sur \( \zeta \in [0, 1] \), soit 18 points. \( \sum_g w_g = \tfrac12 \).

Notes

• Dimensions valides : \( d_r = d_s = 3 \).
• Version complète (avec nœud central) : non fournie — le prisme sérendipité suffit pour l’extrusion de maillages quadratiques.