TRI6 — triangle quadratique
Triangle à 6 nœuds, interpolation Lagrange-2 complète. Parent : TRI3, plus 3 nœuds de milieu d’arête. Interpolation quadratique complète \( P2 \) : déformation linéaire par élément.
Repère de référence
Simplexe unité, coordonnées barycentriques \( L_1 = 1-\xi-\eta \), \( L_2 = \xi \), \( L_3 = \eta \).
| Nœud | \( (\xi, \eta) \) | rôle |
|---|---|---|
| 0 | \( (0, 0) \) | sommet |
| 1 | \( (1, 0) \) | sommet |
| 2 | \( (0, 1) \) | sommet |
| 3 | \( (\tfrac12, 0) \) | milieu \( (0,1) \) |
| 4 | \( (\tfrac12, \tfrac12) \) | milieu \( (1,2) \) |
| 5 | \( (0, \tfrac12) \) | milieu \( (2,0) \) |
Fonctions de forme
Sommets \( L_i(2L_i - 1) \), milieux \( 4 L_a L_b \) :
\[ \begin{aligned} N_0 &= L_1(2L_1 - 1), & N_1 &= L_2(2L_2 - 1), & N_2 &= L_3(2L_3 - 1), \\ N_3 &= 4 L_1 L_2, & N_4 &= 4 L_2 L_3, & N_5 &= 4 L_3 L_1. \end{aligned} \]
Dérivées de référence
Avec \( \nabla_\xi L_1 = (-1,-1) \), \( \nabla_\xi L_2 = (1,0) \), \( \nabla_\xi L_3 = (0,1) \), les sommets donnent \( \nabla_\xi N_i = (4L_i - 1)\,\nabla_\xi L_i \) et les milieux \( \nabla_\xi N = 4(L_b\,\nabla_\xi L_a + L_a\,\nabla_\xi L_b) \). Par exemple :
\[ \nabla_\xi N_0 = \big(-(4L_1-1),\ -(4L_1-1)\big), \qquad \nabla_\xi N_3 = \big(4(L_1 - L_2),\ -4L_2\big). \]
Quadrature (défaut)
Règle symétrique de Dunavant degré 4 à 6 points (deux orbites à 3 points), exacte au degré \( \le 4 \) — vérifiée par intégration de monômes dans les tests. \( \sum_g w_g = \tfrac12 \).
Notes
- Dimensions valides : \( d_r = 2 \), \( d_s \in {2, 3} \).
- Déformation linéaire : bien plus précis qu’un TRI3 en flexion, et suit des bords courbes (arêtes paraboliques).