HEX20 — hexaèdre sérendipité

Hexaèdre à 20 nœuds, interpolation Lagrange-2 sérendipité (arêtes seulement, ni face ni centre). Parent : HEX8, plus 12 nœuds de milieu d’arête. Variante complète : HEX27.

Repère de référence

\( \xi, \eta, \zeta \in [-1, +1] \). Sommets 0..7 (comme HEX8) ; milieux 8..19 : bas \( (0,1),(1,2),(2,3),(3,0) \), haut \( (4,5),(5,6),(6,7),(7,4) \), verticaux \( (0,4),(1,5),(2,6),(3,7) \). Chaque nœud de milieu a exactement une coordonnée de référence nulle.

Fonctions de forme

Pour un nœud de coordonnées de référence \( (p, q, r) \) :

Sommets (\( p, q, r = \pm1 \)) — noter le facteur \( -2 \) :

\[ N_i = \tfrac18\,(1 + p\xi)(1 + q\eta)(1 + r\zeta)\,(p\xi + q\eta + r\zeta - 2). \]

Milieux d’arête, selon la direction de l’arête (celle où la coordonnée est nulle) :

\[ \begin{aligned} p = 0:&\quad N = \tfrac14(1 - \xi^2)(1 + q\eta)(1 + r\zeta), \\ q = 0:&\quad N = \tfrac14(1 + p\xi)(1 - \eta^2)(1 + r\zeta), \\ r = 0:&\quad N = \tfrac14(1 + p\xi)(1 + q\eta)(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Dérivées de référence

Dérivation directe des expressions ci-dessus (recoupée par différences finies dans les tests).

Quadrature (défaut)

Produit tensoriel 3×3×3 de Gauss-Legendre (27 points), exacte au degré \( \le 5 \) par direction. \( \sum_g w_g = 8 \).

Notes

• Dimensions valides : \( d_r = d_s = 3 \).
• 20 nœuds au lieu de 27 : moins d’inconnues que HEX27, sans les monômes d’ordre le plus élevé (\( \xi^2\eta^2\zeta^2 \) etc.). Bon compromis précision/coût, très utilisé en mécanique 3-D.