TET10 — tétraèdre quadratique
Tétraèdre à 10 nœuds, interpolation Lagrange-2 complète. Parent : TET4, plus 6 nœuds de milieu d’arête. Déformation linéaire par élément — l’élément volumique quadratique le plus courant.
Repère de référence
Simplexe unité, barycentriques \( L_0 = 1-\xi-\eta-\zeta \), \( L_1 = \xi \), \( L_2 = \eta \), \( L_3 = \zeta \). Sommets 0..3 (comme TET4), milieux 4..9 sur les arêtes \( (0,1), (1,2), (2,0), (0,3), (1,3), (2,3) \).
| Nœud | \( (\xi, \eta, \zeta) \) | Nœud | arête | \( (\xi, \eta, \zeta) \) | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | \( (0,0,0) \) | 4 | \( (0,1) \) | \( (\tfrac12,0,0) \) | |
| 1 | \( (1,0,0) \) | 5 | \( (1,2) \) | \( (\tfrac12,\tfrac12,0) \) | |
| 2 | \( (0,1,0) \) | 6 | \( (2,0) \) | \( (0,\tfrac12,0) \) | |
| 3 | \( (0,0,1) \) | 7 | \( (0,3) \) | \( (0,0,\tfrac12) \) | |
| 8 | \( (1,3) \) | \( (\tfrac12,0,\tfrac12) \) | |||
| 9 | \( (2,3) \) | \( (0,\tfrac12,\tfrac12) \) |
Fonctions de forme
Sommets \( L_i(2L_i - 1) \), milieux \( 4 L_a L_b \) :
\[ \begin{aligned} N_0 &= L_0(2L_0-1), \ \dots,\ N_3 = L_3(2L_3-1), \\ N_4 &= 4 L_0 L_1, \quad N_5 = 4 L_1 L_2, \quad N_6 = 4 L_2 L_0, \\ N_7 &= 4 L_0 L_3, \quad N_8 = 4 L_1 L_3, \quad N_9 = 4 L_2 L_3. \end{aligned} \]
Dérivées de référence
Avec les gradients barycentriques \( \nabla_\xi L_0 = (-1,-1,-1) \), \( \nabla_\xi L_1 = (1,0,0) \), etc. : sommets \( \nabla_\xi N_i = (4L_i - 1)\,\nabla_\xi L_i \), milieux \( \nabla_\xi N = 4(L_b\,\nabla_\xi L_a + L_a\,\nabla_\xi L_b) \).
Quadrature (défaut)
Règle de Keast degré 4 à 11 points (un point au centroïde à poids négatif, une orbite à 4 et une orbite à 6 points), exacte au degré \( \le 4 \) — vérifiée par intégration de monômes. \( \sum_g w_g = \tfrac16 \).
Notes
- Dimensions valides : \( d_r = d_s = 3 \).
- Suit des faces courbes (arêtes paraboliques) ; excellent compromis précision / génération de maillage pour la mécanique 3-D.