PENTA6 — prisme (pentaèdre) linéaire
Prisme à 6 nœuds, interpolation Lagrange-1. C’est l’extrusion d’un
TRI3 le long de \( \zeta \) : produit d’un triangle (coordonnées
barycentriques) par un segment linéaire. Produit par les opérateurs extrude
et revolve (TRI3 → PENTA6), ainsi que par sweep_solid.
Repère de référence
Triangle \( \xi, \eta \in [0, 1] \), \( \xi + \eta \le 1 \), extrudé sur \( \zeta \in [0, 1] \). Triangle inférieur (\( \zeta = 0 \)) puis triangle supérieur (\( \zeta = 1 \)), chacun CCW.
| Nœud | \( (\xi, \eta, \zeta) \) | Nœud | \( (\xi, \eta, \zeta) \) | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | \( (0, 0, 0) \) | 3 | \( (0, 0, 1) \) | |
| 1 | \( (1, 0, 0) \) | 4 | \( (1, 0, 1) \) | |
| 2 | \( (0, 1, 0) \) | 5 | \( (0, 1, 1) \) |
Fonctions de forme
Avec les barycentriques du triangle \( L_1 = 1-\xi-\eta \), \( L_2 = \xi \), \( L_3 = \eta \) et le facteur linéaire en \( \zeta \) :
\[ N_j = L_j\,(1 - \zeta) \quad (j = 0, 1, 2), \qquad N_{j+3} = L_{j+1}\,\zeta \quad (j = 0, 1, 2). \]
(les nœuds 0..2 portent \( L_1, L_2, L_3 \) à \( \zeta=0 \) ; les nœuds 3..5, les mêmes à \( \zeta=1 \)).
Dérivées de référence
Par exemple, pour le nœud 0 (\( L_1(1-\zeta) \)) :
\[ \nabla_\xi N_0 = \big(-(1-\zeta),\ -(1-\zeta),\ -L_1\big), \]
les autres suivant le même schéma (dérivées de \( L_j \) constantes, \( \partial_\zeta \) porté par le facteur \( \zeta \)).
Quadrature (défaut)
Produit tensoriel de la règle TRI3 (3 points, \( w = 1/6 \)) par la règle de Gauss à 2 points sur \( \zeta \in [0, 1] \) (\( \zeta_g = \tfrac12 \pm \tfrac{1}{2\sqrt3} \), \( w = \tfrac12 \)), soit 6 points :
\[ w_g = \tfrac16\cdot\tfrac12 = \tfrac{1}{12}, \qquad \sum_g w_g = \tfrac12. \]
Notes
- Dimensions valides : \( d_r = d_s = 3 \).
- Exact au degré \( \le 2 \) dans le plan du triangle et \( \le 3 \) selon \( \zeta \).
- Utile pour mailler par couches (extrusion d’un maillage surfacique TRI3).
- Version quadratique sérendipité : PENTA15.