HEX8 — hexaèdre trilinéaire
Hexaèdre à 8 nœuds, interpolation Lagrange-1 (produit tensoriel
\( Q1 \)). Interpolation trilinéaire ; l’élément volumique de référence
pour les maillages structurés. Produit par extrude et revolve (QUA4 → HEX8).
Repère de référence
\( \xi, \eta, \zeta \in [-1, +1] \). Face inférieure CCW (nœuds 0..3) puis face supérieure CCW (nœuds 4..7).
| Nœud | \( (\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \) | Nœud | \( (\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \) | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | \( (-1,-1,-1) \) | 4 | \( (-1,-1,+1) \) | |
| 1 | \( (+1,-1,-1) \) | 5 | \( (+1,-1,+1) \) | |
| 2 | \( (+1,+1,-1) \) | 6 | \( (+1,+1,+1) \) | |
| 3 | \( (-1,+1,-1) \) | 7 | \( (-1,+1,+1) \) |
Fonctions de forme
Pour le nœud \( i \) de coordonnées de référence \( (\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \in {-1,+1}^3 \) :
\[ N_i(\xi, \eta, \zeta) = \tfrac{1}{8}\,(1 + \xi_i\,\xi)\,(1 + \eta_i\,\eta)\,(1 + \zeta_i\,\zeta). \]
Dérivées de référence
\[ \frac{\partial N_i}{\partial \xi} = \tfrac18\,\xi_i\,(1 + \eta_i\,\eta)(1 + \zeta_i\,\zeta), \]
et de même par permutation circulaire pour \( \partial_\eta \) et \( \partial_\zeta \).
Quadrature (défaut)
Produit tensoriel 2×2×2 de Gauss-Legendre, exacte au degré \( \le 3 \) par direction :
\[ \xi_g = \left(\pm\tfrac{1}{\sqrt 3}\right)^3, \qquad w_g = 1, \qquad \sum_g w_g = 8. \]