SEG3 — segment quadratique

Segment à 3 nœuds, interpolation Lagrange-2 complète. Parent linéaire : SEG2. Un nœud de milieu porte la courbure de l’interpolation.

Repère de référence

\( \xi \in [-1, +1] \), nœud médian en \( \xi = 0 \).

Fonctions de forme

\[ N_0 = \tfrac12\,\xi(\xi - 1), \qquad N_1 = \tfrac12\,\xi(\xi + 1), \qquad N_2 = 1 - \xi^2. \]

Dérivées de référence

\[ \frac{\partial N_0}{\partial \xi} = \xi - \tfrac12, \qquad \frac{\partial N_1}{\partial \xi} = \xi + \tfrac12, \qquad \frac{\partial N_2}{\partial \xi} = -2\xi. \]

Quadrature (défaut)

Gauss-Legendre à 3 points, exacte au degré \( \le 5 \) :

\[ \xi_g = \left(-\sqrt{\tfrac35},\ 0,\ +\sqrt{\tfrac35}\right), \qquad w_g = \left(\tfrac59,\ \tfrac89,\ \tfrac59\right), \qquad \sum_g w_g = 2. \]

Notes

• Dimensions valides : \( d_r = 1 \), \( d_s \in {1, 2, 3} \) (arête courbe plongée dans le plan ou l’espace).
• L’interpolation quadratique suit une géométrie courbe exactement (arête parabolique).