HEX27 — hexaèdre tri-quadratique

Hexaèdre à 27 nœuds, interpolation Lagrange-2 complète (\( Q2 \) tensoriel). Parent : HEX8, avec 12 milieux d’arête (comme HEX20), 6 centres de face et 1 centre de volume.

Repère de référence

\( \xi, \eta, \zeta \in [-1, +1] \). Sommets 0..7, milieux d’arête 8..19 (ordre HEX20), centres de face 20..25 (faces \( x^-, x^+, y^-, y^+, z^-, z^+ \)), centre de volume 26 en \( (0,0,0) \).

Fonctions de forme

Produit tensoriel des fonctions de Lagrange quadratiques 1-D sur \( {-1, 0, +1} \) :

\[ \ell_{-}(t) = \tfrac12 t(t-1), \qquad \ell_{0}(t) = 1 - t^2, \qquad \ell_{+}(t) = \tfrac12 t(t+1), \]

et \( N_i(\xi, \eta, \zeta) = \ell_a(\xi)\,\ell_b(\eta)\,\ell_c(\zeta) \), où \( (\ell_a, \ell_b, \ell_c) \) sélectionne la position (\( -, 0, + \)) du nœud dans chaque direction. Le centre de volume est \( N_{26} = (1-\xi^2)(1-\eta^2)(1-\zeta^2) \).

Dérivées de référence

\[ \frac{\partial N_i}{\partial \xi} = \ell_a’(\xi)\,\ell_b(\eta)\,\ell_c(\zeta), \]

et de même pour \( \partial_\eta \), \( \partial_\zeta \), avec \( \ell_{-}‘(t) = t - \tfrac12 \), \( \ell_0’(t) = -2t \), \( \ell_{+}’(t) = t + \tfrac12 \).

Quadrature (défaut)

Produit tensoriel 3×3×3 de Gauss-Legendre (27 points), exacte au degré \( \le 5 \) par direction. \( \sum_g w_g = 8 \).

Notes

• Dimensions valides : \( d_r = d_s = 3 \).
• Espace polynomial \( Q2 \) complet : le plus précis des hexaèdres, au prix de 27 nœuds par élément.