PYRA5 — pyramide linéaire

Pyramide à 5 nœuds — base carrée et sommet — interpolation Lagrange-1.

C’est l’élément de raccord entre hexaèdres et tétraèdres : sa face carrée s’appuie sur une face de HEX8, ses quatre faces triangulaires sur des faces de TET4. Une couche d’hexaèdres peut donc être refermée sur un cœur tétraédrique sans nœud en T. Sans lui, il n’existe pas de maillage volumique conforme mêlant les deux.

Repère de référence

\( \zeta \in [0, 1] \), et \( \xi, \eta \in [-(1-\zeta),\ +(1-\zeta)] \) : la section carrée rétrécit avec \( \zeta \) jusqu’à se réduire au sommet. Base parcourue CCW vue depuis le sommet, puis le sommet.

Fonctions de forme

La pyramide est le seul élément courant dont les fonctions de forme ne sont pas polynomiales, et ce n’est pas un choix : sa base carrée doit s’effondrer sur un point unique au sommet, et aucun polynôme ne fait cela tout en restant bilinéaire sur la base.

En notant \( m = 1 - \zeta \) la demi-largeur de la section, ce sont les fonctions bilinéaires dans les coordonnées mises à l’échelle \( \xi/m,\ \eta/m \), pondérées par \( m \) :

\[ N_i = \frac{m}{4}\left(1 + \xi_i\,\frac{\xi}{m}\right)\left(1 + \eta_i\,\frac{\eta}{m}\right) \quad (i = 0 \dots 3), \qquad N_4 = \zeta, \]

où \( (\xi_i, \eta_i) \) sont les signes du nœud \( i \) sur la base. Développé :

\[ N_i = \frac{1}{4}\left(m + \xi_i\,\xi + \eta_i\,\eta + \xi_i\eta_i\,\frac{\xi\eta}{m}\right). \]

Le terme croisé \( \xi\eta/m \) est la partie rationnelle — et la raison pour laquelle la pyramide réclame une quadrature à elle. Il reste borné sur l’élément de référence (\( |\xi|, |\eta| \le m \), donc il vaut au plus \( m/4 \)) mais il est bel et bien singulier au sommet, où la limite \( N_4 = 1 \) est prise directement.

Dérivées de référence

Avec \( u = \xi/m \), \( v = \eta/m \) :

\[ \frac{\partial N_i}{\partial \xi} = \frac{\xi_i}{4}\,(1 + \eta_i v), \qquad \frac{\partial N_i}{\partial \eta} = \frac{\eta_i}{4}\,(1 + \xi_i u), \qquad \frac{\partial N_i}{\partial \zeta} = \frac{1}{4}\,(-1 + \xi_i\eta_i\,u v), \]

et \( \nabla_\xi N_4 = (0, 0, 1) \). Les trois sommes sur les cinq nœuds s’annulent, comme il se doit — les identités \( \sum_i \xi_i = \sum_i \eta_i = \sum_i \xi_i\eta_i = 0 \) sur la base carrée y suffisent.

Quadrature (défaut)

Une pyramide n’est le produit d’aucune paire de simplexes : elle reçoit donc une règle conique, produit d’une règle de Gauss–Legendre 2 × 2 sur la section carrée par une règle de Gauss–Jacobi à 2 points en \( \zeta \), soit 8 points.

C’est le poids de Jacobi qui fait l’affaire. En écrivant un point sous la forme \( \xi = a(1-\zeta) \), \( \eta = b(1-\zeta) \) avec \( a, b \in [-1, 1] \), le changement de variables fait apparaître

\[ \mathrm{d}\xi\,\mathrm{d}\eta = (1-\zeta)^2\,\mathrm{d}a\,\mathrm{d}b, \]

soit exactement le rétrécissement de la section vers le sommet. Intégrer la direction \( \zeta \) contre ce \( (1-\zeta)^2 \) est une règle de Gauss–Jacobi de paramètre \( \alpha = 2 \), dont les deux nœuds sont les racines de \( z^2 - \tfrac23 z + \tfrac1{15} \) :

\[ \zeta_g = \frac13 \mp \frac{\sqrt{10}}{15} \quad\Longrightarrow\quad \zeta_g \simeq 0{,}12251 \ \text{et}\ 0{,}54415, \]

et les poids se déduisent des deux premiers moments de \( (1-z)^2 \) sur \( [0,1] \) (\( \sum w = 1/3 \), \( \sum w z = 1/12 \)) :

\[ w_g \simeq 0{,}23255 \ \text{et}\ 0{,}10079. \]

La somme des poids vaut alors \( 2 \times 2 \times \tfrac13 = \tfrac43 \), le volume de la pyramide de référence.

Notes

• Dimensions valides : \( d_r = d_s = 3 \).
• Conformité. Sur \( \zeta = 0 \) les fonctions se réduisent exactement à celles d’un QUA4, et le long d’une arête base → sommet elles sont linéaires. C’est ce qui garantit la continuité avec un HEX8 par la face carrée et avec un TET4 par une face triangulaire.
• La partie rationnelle rend l’intégration inexacte pour un élément quelconque, contrairement aux autres types linéaires ; la règle à 8 points est le choix usuel. Elle reste exacte sur le volume d’une pyramide droite ou oblique, ce que vérifie le test pyra5_jacobian_volume.
• Lu et écrit par read_gmsh (type 7) et par l’export VTK (VTK_PYRAMID, 14).
• Pas de version quadratique (PYRA13/PYRA14) pour l’instant.