Échanges (frontière et interface)

Introduction

Deux physiques, une seule loi. Un échange fait traverser un flux proportionnellement à un écart :

\[ q\cdot n = h\,\big(a - b\big) \]

et toute la différence entre les deux tient à de quel côté du signe égal vit le milieu d’en face :

Le bloc hors-diagonale est le second membre rendu implicite. C’est pourquoi les deux partagent leur noyau (src/models/transfer.rs) au lieu d’en porter chacun une copie : le terme de frontière est le terme d’interface avec les deux côtés sur la même maille.

Ce qui est transféré appartient à l’appelant

Aucun des deux ne sait ce qu’il transporte. On lui donne une liste de couples (primale, duale) — la forme que prennent déjà embedded et contact, les deux autres lois qui lient des maillages — et tout le reste en découle :

Un coefficient par grandeur transférée, nommé d’après elle. C’est ce qui permet une raideur par direction, et ce qu’un h unique ne pouvait pas exprimer.

Nommer les DDL de la physique de volume est aussi ce qui fait que le terme s’y couple directement : un boundary_transfer sur ("T", "q") entre dans la raideur d’un heat_conduction sans adaptateur, parce que la matrice est indexée par le couple (nœud, nom de champ).

La cible donne la nature

Des noms de variables libres ne disent pas quelle nature physique porte l’échange ("thermal", "diffusion", "mechanical") — c’est pourtant elle que model.filter(...) sélectionne. Le modèle dont l’échange nomme les DDL, lui, la connaît. Les deux lois se construisent donc contre ce modèle, passé en argument target après le support, exactement comme une charge répartie ou une contrainte :

conduction = model.heat_conduction(volume)
film       = model.boundary_transfer(peau, conduction, [("T", "q")])      # thermique
corps      = model.fick(gauche, "H2") | model.fick(droite, "H2")
joint      = model.interface_transfer(face_g, face_d, corps, [("c_H2", "j_H2")])  # diffusion

Chaque couple doit être assemblé par la cible : un de ses sous-modèles compte la primale parmi ses inconnues et l’apparie à la duale. La vérification se fait une fois, à la construction, et refuse trois erreurs qui passaient jusqu’ici :

Pour deux natures, on construit deux échanges. Le rayonnement reçoit lui aussi sa cible — il écrit dans la ligne q d’une conduction —, mais ses natures restent les siennes, [Thermal, Radiation] : la cible n’y sert qu’à prouver que la ligne est assemblée.

Forme discrétisée

Échange avec une ambiante

La forme faible du terme de bord se scinde en deux ingrédients, dont le sous-modèle ne porte que le premier :

\[ \underbrace{K_{ij} = h \int_\Gamma N_i\,N_j\,d\Gamma}{\text{matrice de film (raideur)}} \qquad \underbrace{f_i = h\,a\text{ext} \int_\Gamma N_i\,d\Gamma}_{\text{charge (second membre)}} \]

La part ambiante est un chargement, et le sous-modèle le porte : a_ext est une composante matériau exigée, à côté de son coefficient, et le terme se récupère par external_forces. Elle a longtemps été bâtie à la main avec l’opérateur flux, ce qui laissait l’oublier — et un ambiant oublié ne se voit pas : il se lit comme un ambiant nul, donc comme une paroi qui échange avec le zéro absolu. Le terme de film rend par ailleurs la matrice définie : un problème purement Neumann + échange est bien posé sans Dirichlet.

Aucune normale à choisir. Elle est déjà consommée en passant de \( q\cdot n \) à \( h(a - a_\text{ext}) \) ; ce qui reste sous l’intégrale est un scalaire fois la mesure \( d\Gamma = \sqrt{\det(J^\top J)} \), une magnitude indépendante de l’orientation du maillage de bord — contrairement à une pression ou à un flux signé.

Échange entre deux maillages

Ni l’une ni l’autre n’a de loi de comportement. Le h·a d’un bord et le h·(a₁−a₂) d’une interface sont le coefficient de leur propre opérateur appliqué en un point, pas un comportement : le même h a déjà bâti ∫h NᵀN. Elles ont longtemps dû s’en inventer une, parce que Domain en exigeait une ; depuis que la loi est une capacité à part, elles n’en déclarent plus.

Côté résidu, l’intégrale d’une différence est la différence des intégrales : l’interface rend ∫h(a₁−a₂)N sur A et son opposé sur B, chacune dispersée sur son propre espace. Ce qui est couplé, c’est la matrice — lignes sur A, colonnes sur B — pas le vecteur, qui ne produit qu’un nombre par nœud. La conformité exigée des deux côtés sert à savoir où lire a₂ : maille pour maille, les deux interpolations s’alignent indice pour indice et le saut est une soustraction. Sans elle il faudrait localiser les points de Gauss de l’un dans l’autre — ce qui n’est plus la même méthode, mais un mortar.

Quand l’autre côté est une inconnue, la forme faible devient

\[ \int_\Gamma h\,(a_1 - a_2)\,(\delta a_1 - \delta a_2)\; d\Gamma, \]

qui se développe en une structure \( 2\times2 \) sur les DDL des deux côtés :

\[ \begin{bmatrix} +K & -K \\ -K & +K \end{bmatrix}, \qquad K_{ij} = h \int_\Gamma N_i\,N_j\; d\Gamma . \]

Les deux blocs diagonaux sont exactement deux termes de frontière, un par côté. Les deux autres ont leurs lignes sur un maillage et leurs colonnes sur l’autre : c’est le genre de contribution Coupling, dont ce modèle est le seul utilisateur (voir Ajouter une physique).

Les quatre sortent d’une seule fonction, transfer::exchange_matrix : les diagonaux avec la même maille des deux côtés et le signe +, les croisés avec la maille en vis-à-vis et le signe −. Le signe est donc porté par le noyau et non par un facteur qu’il faudrait faire circuler dans l’assembleur. Chaque bloc de couplage pris seul est non symétrique ; leur réunion l’est — exactement comme la paire C / Cᵀ de Dirichlet.

Les grandeurs transférées ne se couplent pas entre elles : la chaleur qui traverse un joint n’y pousse pas l’hydrogène. Seule la diagonale en indice de variable est écrite, donc le coût reste linéaire en nombre de composantes.

Conformité

Les deux côtés doivent être conformes : même type d’élément, même nombre de mailles, maille i face à maille i, et nœud local k face au nœud local k. C’est vérifié géométriquement à la construction — les nœuds appariés doivent être colocalisés — et signalé plutôt qu’approché. Une interface non conforme est un problème de maillage ; la rattraper par une projection silencieuse fabriquerait des flux faux sans le dire.

Les deux maillages sont donc géométriquement confondus mais numérotés séparément : c’est cette duplication des nœuds qui laisse le champ sauter, là où un nœud partagé l’interdirait.

Mise en donnée (Rust, testé)

/// A boundary exchange on the displacement is an **elastic foundation**: the
/// face rests on a distributed spring, and the analytical `u = q/(E/L + h)`
/// comes out for stiffnesses spanning four decades.
#[test]
fn a_boundary_exchange_on_displacements_is_an_elastic_foundation() -> Result<()> {
    for h in [0.0, 1e3, 1e4, 1e5, 1e6] {
        let u = free_face_displacement(4, h)?;
        let exact = Q / (E / L + h);
        assert!(
            (u - exact).abs() < 1e-9 * exact.abs().max(1e-12),
            "h = {h}: face displacement {u}, exact {exact}"
        );
    }
    Ok(())
}

Exemple Python

# Thermal film: enters the stiffness of the conduction it cools, and
# en prend la nature.
conduction = pyrucast.model.heat_conduction(fes)
model = conduction | pyrucast.model.boundary_transfer(peau, conduction, [("T", "q")])
materials = pyrucast.element_field.material_field(
    model, [("k", 5.0), ("h_T", 12.0), ("a_ext_T", 20.0)]
)

# Contact resistance between two meshes.
corps = pyrucast.model.heat_conduction(gauche) | pyrucast.model.heat_conduction(droite)
joint = pyrucast.model.interface_transfer(face_gauche, face_droite, corps, [("T", "q")])

# Elastic foundation: the same law, on displacements.
plaque = pyrucast.model.elasticity(fes, "plane_stress")
appui = pyrucast.model.boundary_transfer(
    semelle, plaque, [("u_x", "f_x"), ("u_y", "f_y")]
)

# No kind in argument: each took its target's own.
joint[0].physics()  # ["thermal"]
appui[0].physics()  # ["mechanical"]

Compléments

Ce que la généralisation apporte

Rien dans la loi n’est thermique ni diffusif, donc deux modèles sortent sans une ligne de mécanique :

• une fondation élastique de Winkler — un échange de frontière sur les déplacements. Une barre poussée sur sa face libre, cette face reposant sur un ressort réparti, c’est la barre et le ressort en parallèle sous la traction appliquée : \( u = q / (E/L + h) \), ce que le test vérifie à 1e-9 sur quatre décades de raideur ;
• un joint collé de raideur finie — le même sur une interface.

Échange ou contrainte ?

Un interface_transfer est la régularisation par pénalité de ce qu’un MPC impose exactement :

mpc([(T, maillage₁, +1), (T, maillage₂, −1)]) = 0   ⟺  T₁ = T₂, exactement
interface_transfer(maillage₁, maillage₂), h → ∞      ⟶  T₁ = T₂, à 1/h près

Le critère de choix tient en une phrase : si h vient d’une mesure, c’est de la physique ; s’il a été choisi « assez grand », il fallait une contrainte. Un joint imparfait, une résistance thermique de contact, une couche adhésive ont un h mesurable ; « lier deux surfaces » n’en a pas.

Ce que ça vaut comme vérification

Le film thermique est confronté à une solution analytique — une dalle chauffée d’un côté, refroidie de l’autre, dont tout le flux ressort par convection (voir Conduction thermique).

L’interface l’est au saut : deux carrés côte à côte, un flux q injecté d’un côté, la concentration imposée de l’autre, et un saut q/h à la traversée (voir Diffusion). C’est ce saut qui distingue une interface d’un nœud partagé, et il est porté entièrement par les blocs hors-diagonale ; quand h → ∞ il s’efface et l’on retrouve le corps continu.

S’y ajoute la structure : la raideur assemblée reste symétrique alors qu’aucun bloc de couplage ne l’est, ce qui est la vérification que les quatre blocs atterrissent où ils doivent.

Ce qui n’est pas couvert

Pas d’échange entre maillages non coïncidents : la liaison exacte a sa version non conforme avec embedded et ses poids d’interpolation, l’échange fini n’en a pas. Le mécanisme existe, il n’a simplement jamais été branché là.