Dirichlet

En bref

Impose la valeur d’une inconnue sur des nœuds : T = 20 sur un bord, u_x = 0 sur un appui. Avec sense, impose une borne : u_x ≥ 0 est une butée.

target est le modèle contraint, variable l’une de ses inconnues ; une variable que la cible ne déclare pas est refusée à la construction. Une seule variable par contrainte : pour encastrer, on compose dirichlet(noeuds, m, "u_x") | dirichlet(noeuds, m, "u_y").

Théorie

Chaque nœud \(n\) du support porte une relation à un seul terme,

\[ u(n) = u_d \qquad (\text{ou } \ge,\ \le\ u_d), \]

imposée par un multiplicateur \(\lambda\) (voir Contraintes). Elle apporte deux blocs à la raideur, chacun de coefficient 1 :

• le bloc \(C\) : ligne (multiplicateur, imposed), colonne (n, variable) ;
• le bloc \(C^{\mathsf T}\) : ligne (n, duale de la variable), colonne (multiplicateur, lambda).

À la solution, \(\lambda\) est l’effort de la pièce sur le blocage : le flux ou la force qui tient la valeur imposée, vu de la pièce. La réaction, ce que le blocage exerce sur la pièce, est \(-\lambda\) : une poutre encastrée qui porte un poids \(P\) vers le bas a des multiplicateurs u_z de somme \(-P\), et une réaction \(P\) vers le haut (voir Contraintes).

Chaque relation a son nœud multiplicateur, créé par la contrainte à la position du nœud imposé, dans le même Coords ; multiplier_mesh() les donne. La valeur imposée \(u_d\) n’est pas stockée dans la contrainte : elle s’écrit dans le chargement, à la composante imposed du nœud multiplicateur, ce que fait constraint_rhs([(noeud_impose, u_d)]). Une relation absente du chargement impose 0.

Variables

Ce qu’elle produit

Exemple

Une barre \([0, 1]\) en conduction, \(T(0) = 0\) et \(T(1) = 1\) : le profil est \(T = x\), et les multiplicateurs sont les flux \(\pm1\) aux deux bouts.

import pyrucast

# 1) Maillage et espace éléments finis
c = pyrucast.Coords(dim=1)
nodes = [c.add_node([i / 4.0]) for i in range(5)]
mesh = pyrucast.Mesh(c, "SEG2")
for i in range(4):
    mesh.unit().add_cell([nodes[i], nodes[i + 1]])
fes = pyrucast.FiniteElementSpace(mesh)

# 2) Les deux appuis ; chacun crée son nœud multiplicateur près du nœud imposé.
imposed_left = pyrucast.mesh.poi1_from_nodes([nodes[0]])
imposed_right = pyrucast.mesh.poi1_from_nodes([nodes[-1]])
conduction = pyrucast.model.heat_conduction(fes)
left = pyrucast.model.dirichlet(imposed_left, conduction, "T")
right = pyrucast.model.dirichlet(imposed_right, conduction, "T")
mult_left = left.multiplier_mesh().node(0, 0, 0)
mult_right = right.multiplier_mesh().node(0, 0, 0)

# 3) Le modèle : la conduction et les deux appuis.
model = conduction | left | right
materials = pyrucast.element_field.material_field(model, [("k", 1.0)])

# 4) Chargement : `constraint_rhs` désigne chaque relation par son nœud imposé
#    et écrit la valeur à la composante `imposed` de son nœud multiplicateur.
#    Les deux se réunissent par `|`.
rhs = left.constraint_rhs([(nodes[0], 0.0)]) | right.constraint_rhs([(nodes[-1], 1.0)])

# 5) Assemblage + résolution.
K = pyrucast.matrix.stiffness(model, materials)
solution = pyrucast.solver.solve(K, rhs)
assert abs(solution.value(nodes[2], "T") - 0.5) < 1e-10  # T au milieu
assert abs(solution.value(mult_left, "lambda") - 1.0) < 1e-10  # le flux à gauche

Côté Rust

Dirichlet (src/models/dirichlet.rs) implémente Constraint : ses relations (relations()) et ses nœuds multiplicateurs. Ses blocs sortent de constraint_block_pair, partagé avec les autres contraintes, qui donne aux deux blocs une même identité de paire (Symmetry::Half) : la matrice n’est symétrique que si elle les tient tous les deux. Ils entrent dans la raideur par contributions, comme blocs écrits.