Thermique linéaire
Les deux pages de ce chapitre font chauffer la chape percée de la page Maillage, sous les mêmes sollicitations : l’alésage tenu à 250 °C, un flux qui sort par la face gauche, un film convectif sous la pièce et une tranche chauffée dans la masse. La page Régime stationnaire cherche l’état où la pièce s’est installée ; la page Régime transitoire la suit depuis 0 °C, pendant que les sollicitations s’établissent.
Cette page pose l’équation que les deux résolvent ; chacune la reprend ensuite dans sa forme à elle, jusqu’au système que pyrucast résout vraiment.
L’équation de la chaleur
Le bilan d’énergie sur un volume \( V \) s’écrit, avec \( \phi \) la densité de flux de chaleur et \( q \) une source volumique :
\[ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} + \operatorname{div}(\phi) = q, \qquad \phi = -\lambda \operatorname{grad}(T) \]
| \( T \) | la température |
| \( \phi \) | la densité de flux de chaleur (loi de Fourier : la chaleur va du chaud vers le froid) |
| \( q \) | la source de chaleur volumique |
| \( \lambda \) | la conductivité thermique |
| \( \rho \), \( c_p \) | la masse volumique et la capacité thermique massique |
Sur le bord, deux sortes de conditions se partagent la surface. Sur \( \partial V_T \) la température est imposée ; sur \( \partial V_\phi \) c’est la chaleur reçue par le bord qui est donnée (\( n \) la normale sortante) :
\[ T = T_{\text{imp}} \ \text{ sur } \partial V_T, \qquad -\phi \cdot n = \phi_{\text{imp}} + \underbrace{h\,(T_f - T)}_{\text{convection}} + \underbrace{\varepsilon \sigma\,(T_\infty^4 - T^4)}_{\text{rayonnement}} \ \text{ sur } \partial V_\phi \]
Un \( \phi_{\text{imp}} \) positif apporte de la chaleur, un négatif en retire. La convection échange avec un fluide à \( T_f \), en proportion de l’écart de température ; le rayonnement échange avec un environnement lointain à \( T_\infty \), en puissance quatrième de la température. Ce chapitre-ci laisse le rayonnement de côté : il a sa propre page, Thermique non linéaire.
La forme discrétisée
Sur les éléments finis, la température s’interpole à partir de ses valeurs aux nœuds, \( T(x) = [N(x)]\{T\} \), et son gradient aussi, \( \operatorname{grad}(T) = [B(x)]\{T\} \). L’équation devient un système d’équations différentielles en temps :
\[ [C]\{\dot{T}\} + [K]\{T\} = \{P\} \]
\[ [C] = \int_V \rho c_p\,[N]^T [N] \, dV \qquad \text{la capacité} \]
\[ [K] = \int_V [B]^T \lambda [B] \, dV + \int_{\partial V_\phi} h\,[N]^T [N] \, dS \qquad \text{la conductivité} \]
\[ \{P\} = \int_V [N]^T q \, dV + \int_{\partial V_\phi} [N]^T (\phi_{\text{imp}} + h\,T_f) \, dS \qquad \text{le chargement} \]
La convection se partage entre deux membres : sa part en \( T \) entre dans \( [K] \), sa part en \( T_f \) dans \( \{P\} \). La température imposée, elle, n’entre dans aucun des trois : elle s’ajoute au système par des multiplicateurs de Lagrange, comme le détaille la page Régime stationnaire.
Linéaire veut dire : rien ne dépend de la température. Les coefficients \( \lambda \), \( \rho \), \( c_p \), \( h \) sont des constantes, si bien que \( [C] \), \( [K] \) et \( \{P\} \) se calculent une fois pour toutes. Le rayonnement casse cette propriété — son terme en \( T^4 \) fait dépendre le chargement de l’inconnue —, d’où sa page à part.
La pièce et ses sollicitations
| Sollicitation | Où | Valeur |
|---|---|---|
| température imposée | l’alésage | 250 °C |
| flux imposé | la face gauche, \( x = 0 \) | −40 kW/m² (il sort) |
| convection | la face du dessous, \( z = 0 \) | \( h = 240 \) W/m²/K, \( T_f = -80 \) °C |
| source volumique | la tranche \( 0{,}33\,L \le x \le 0{,}51\,L \) | 2 600 kW/m³ |
Le matériau est un acier : \( \lambda = 50 \) W/m/K, et pour le transitoire \( \rho = 7\,800 \) kg/m³, \( c_p = 420 \) J/kg/K, une pièce à 0 °C au départ. Voici ce que donne le régime établi :
Le parcours
- Régime stationnaire — \( [C]\{\dot{T}\} \) disparaît : un seul système, résolu deux fois, la conduction seule puis toutes les sollicitations.
- Régime transitoire — les sollicitations s’établissent au fil du temps, et la pièce les suit pas de temps par pas de temps ; le flux de chaleur se calcule ensuite sur le dernier instant.
Puis Thermique non linéaire ajoute le rayonnement.
Suite : Régime stationnaire.