Mécanique linéaire
Les trois pages de ce chapitre chargent la chape percée de la page Maillage. La pièce est encastrée par sa face gauche, et une masse de 2 500 kg y est suspendue par l’alésage.
- La page Élasticité pose cette masse de trois façons et lit les déplacements, les réactions et les contraintes.
- La page Dilatation, matériau homogène ajoute la dilatation due à la température calculée au chapitre précédent.
- La page Dilatation, matériau hétérogène la reprend avec un coefficient de dilatation qui varie le long de la pièce.
Cette page pose l’équation que les trois résolvent. Chacune la reprend ensuite dans sa forme à elle, jusqu’au système que pyrucast résout vraiment.
L’équilibre
En chaque point de la pièce, les efforts intérieurs équilibrent les efforts appliqués :
\[ \operatorname{div}(\sigma) + f = 0 \ \text{ dans } V \]
| \( \sigma \) | le tenseur des contraintes, en Pa : les efforts intérieurs par unité de surface |
| \( f \) | les forces volumiques, en N/m³, comme le poids propre |
| \( u \) | le déplacement de chaque point, en m |
Sur le bord, deux sortes de conditions se partagent la surface. Sur \( \partial V_u \) le déplacement est imposé ; sur \( \partial V_t \) c’est l’effort appliqué par unité de surface qui est donné, avec \( n \) la normale sortante :
\[ u = u_{\text{imp}} \ \text{ sur } \partial V_u, \qquad \sigma \cdot n = t_{\text{imp}} \ \text{ sur } \partial V_t \]
Un encastrement est un déplacement imposé nul. Une pression \( p \) qui appuie sur le bord est un effort \( t_{\text{imp}} = -p\,n \) : il pousse contre la normale sortante, donc vers l’intérieur de la matière.
Petites déformations et loi de Hooke
Tant que les déplacements restent petits devant la pièce, la déformation se lit sur les dérivées du déplacement :
\[ \varepsilon = \tfrac{1}{2} \left( \operatorname{grad}(u) + \operatorname{grad}(u)^T \right) \]
Un acier qui reste élastique suit la loi de Hooke : la contrainte est proportionnelle à la déformation. La partie due à la température, \( \varepsilon_{\text{th}} \), ne crée aucune contrainte par elle-même ; seule la différence entre la déformation totale et la dilatation en crée :
\[ \sigma = [C] \left( \varepsilon - \varepsilon_{\text{th}} \right), \qquad \varepsilon_{\text{th}} = \alpha\,(T - T_{\text{ref}})\,I \]
| \( [C] \) | la matrice d’élasticité, construite sur le module d’Young \( E \) et le coefficient de Poisson \( \nu \) |
| \( \alpha \) | le coefficient de dilatation, en 1/K |
| \( T_{\text{ref}} \) | la température à laquelle la pièce n’est pas dilatée |
| \( I \) | l’identité : la dilatation est la même dans toutes les directions |
La page Élasticité n’a pas de dilatation : \( \varepsilon_{\text{th}} = 0 \) et \( \sigma = [C]\,\varepsilon \).
La forme discrétisée
Sur les éléments finis, le déplacement s’interpole à partir de ses valeurs aux nœuds, \( u(x) = [N(x)]\{U\} \), et la déformation aussi, \( \varepsilon(x) = [B(x)]\{U\} \). L’équilibre écrit en travaux virtuels devient un système linéaire :
\[ [K]\{U\} = \{F_v\} + \{F_s\} + \{F_{\text{th}}\} + \{F_{\text{reac}}\} \]
\[ [K] = \int_V [B]^T [C] [B] \, dV \qquad \text{la rigidité} \]
\[ \{F_v\} = \int_V [N]^T f \, dV \qquad \text{les forces volumiques} \]
\[ \{F_s\} = \int_{\partial V_t} [N]^T t_{\text{imp}} \, dS \qquad \text{les forces de surface} \]
\[ \{F_{\text{th}}\} = \int_V [B]^T [C]\,\varepsilon_{\text{th}} \, dV \qquad \text{la dilatation} \]
Le dernier terme, \( \{F_{\text{reac}}\} \), est l’effort que l’encastrement exerce sur la pièce pour la tenir : la réaction. Elle n’est pas connue d’avance, c’est le déplacement imposé qui l’est. pyrucast l’obtient par des multiplicateurs de Lagrange \( \{\lambda\} \), un par composante et par nœud bloqué. La relation \( [A]\{U\} = \{U_{\text{imp}}\} \), où chaque ligne de \( [A] \) lit une composante du déplacement d’un nœud bloqué, s’ajoute au système :
\[ \begin{bmatrix} K & A^T \\ A & 0 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} U \\ \lambda \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} F \\ U_{\text{imp}} \end{Bmatrix} \]
Sur la première ligne, \( [K]\{U\} = \{F\} - [A]^T\{\lambda\} \) : la réaction est \( \{F_{\text{reac}}\} = -[A]^T\{\lambda\} \). Le multiplicateur \( \lambda \) est l’effort que la pièce exerce sur le blocage, la réaction son opposé.
Linéaire veut dire : rien ne dépend du déplacement. \( [K] \) se calcule et se factorise une fois pour toutes, et chaque nouveau chargement ne coûte qu’une résolution de plus. La page Mécanique non linéaire lève cette hypothèse.
La pièce et ses sollicitations
| Sollicitation | Où | Valeur |
|---|---|---|
| encastrement | la face gauche, \( x = 0 \) | \( u = 0 \) |
| masse suspendue | l’alésage | 2 500 kg, soit un poids \( mg \) de 24 525 N |
| dilatation (9.7.2 et 9.7.3) | toute la pièce | la température finale du calcul avec rayonnement |
Le matériau est un acier : \( E = 200 \) GPa, \( \nu = 0{,}3 \), et pour la dilatation \( \alpha = 10^{-5} \) /K, avec \( T_{\text{ref}} = 0 \) °C.
Le parcours
- Élasticité : la masse posée de trois façons, trois résolutions sur la même matrice, puis les réactions, la déformée, les contraintes et la contrainte de von Mises le long de deux lignes.
- Dilatation, matériau homogène : la température relue dans le fichier écrit par la page Thermique non linéaire, et la dilatation qu’elle produit.
- Dilatation, matériau hétérogène : le même calcul, avec un coefficient de dilatation qui varie le long de la pièce.
Puis Mécanique non linéaire ajoute la plasticité et le contact.
Suite : Élasticité.