Fluage et viscoplasticité

Introduction

Une loi indépendante du temps plastifie instantanément dès que la contrainte atteint sa surface. Une loi visqueuse, non : la contrainte peut rester hors de la surface, et l’écoulement qui l’y ramène prend du temps. C’est la sur-contrainte qui pilote la vitesse,

\[ \dot{p} = g(\sigma, p, \ldots) \]

et le pas est intégré implicitement, si bien que le résultat dépend de dt.

C’est pourquoi ces lois erronnent en l’absence d’incrément de temps. Intégrer une loi de fluage comme si elle était instantanée produirait un nombre plausible et faux ; refuser est la seule réponse honnête. L’argument existe depuis toujours dans la signature du comportement (dt: Option<f64>) — ce sont les premières lois à s’en servir.

Comme les lois plastiques, ce sont des attributs du même modèle : mêmes degrés de liberté, même montage incrémental, même état interne étendu au besoin.

Équations continues résolues

Le cadre est celui de la plasticité, moins les conditions de Kuhn-Tucker : la partition \( \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^{vp} \) et l’élasticité \( \sigma = D : (\varepsilon - \varepsilon^{vp}) \) sont les mêmes, mais le multiplicateur n’est plus une inconnue de consistance — il est donné par une loi de vitesse :

\[ \dot\varepsilon^{vp} = \dot p\,\frac{3}{2}\,\frac{s}{q}, \qquad \dot p = g(q, p, \mathcal V), \qquad q = \sqrt{3J_2}. \]

L’écoulement reste déviatorique — donc isochore — et radial, la direction étant celle de von Mises. Il n’y a plus de surface à atteindre : la contrainte peut rester hors du domaine, et c’est l’écart qui pilote la vitesse à laquelle elle y revient. Sans le facteur \( dt \) que porte cette équation, la loi n’a tout simplement pas de sens.

Un seul solveur pour toutes

Le pas est intégré par la θ-méthode avec θ = 1 (Euler implicite) : la vitesse est évaluée à la fin du pas. La direction d’écoulement étant fixée par le prédicteur, le déviateur ne fait que se contracter,

\[ q(\Delta p) = q^{\text{tr}} - 3\mu\,\Delta p, \]

et tout le pas se ramène à une équation scalaire en le multiplicateur :

\[ R(\Delta p) = \Delta p - \Delta t\;g\big(q(\Delta p),\; p_A + \Delta p,\;\ldots\big) = 0 . \]

R est croissante (la vitesse décroît quand la contrainte se relaxe), donc la racine est unique dans \( [0,\; q^{\text{tr}}/3\mu] \) — la borne supérieure étant le multiplicateur qui relaxerait tout le déviateur.

Le solveur fait un Newton dessus, encadré et doublé d’une dichotomie. Ce n’est pas de la prudence gratuite : les fonctions de vitesse sont raides (q^n avec n jusqu’à 20 varie de plusieurs décades à l’intérieur d’un pas), et un Newton nu y diverge aussi volontiers qu’il converge — soit vers un multiplicateur négatif, soit vers l’infini. Une dichotomie ne peut faire ni l’un ni l’autre.

Les trois lois de fluage

Norton (ou Norton-Odqvist) est le cheval de bataille du fluage stationnaire :

\[ \dot p = \left(\frac{q}{K}\right)^{n}. \]

Il n’y a aucun seuil : toute contrainte flue, même lentement, et c’est ce qui distingue le fluage de la plasticité. K est la contrainte de référence, n la sensibilité — couramment 3 à 10 pour un métal, ce qui fait varier la vitesse de plusieurs décades à l’intérieur d’un pas.

Lemaitre ajoute un stade primaire par écrouissage en déformation :

\[ \dot p = \left(\frac{q}{K}\right)^{N} p^{-M}, \qquad M > 0 . \]

La déformation accumulée ralentit elle-même l’écoulement : à contrainte constante, l’intégration donne \( p(t) \propto t^{1/(1+M)} \), la courbe concave caractéristique du fluage primaire. Aucune dépendance explicite au temps n’apparaît, et c’est précisément ce qui rend la loi utilisable sous charge variable — une forme à écrouissage temporel y serait fausse. (p est plancherné à une valeur minuscule pour que \( p^{-M} \) reste fini au premier pas.)

Blackburn décrit les deux stades, avec le primaire suivi comme sa propre variable :

\[ \dot p_{\text{prim}} = r\,\big(\varepsilon_\infty(q) - p_{\text{prim}}\big), \qquad \varepsilon_\infty(q) = A\,\sinh(\alpha q), \] \[ \dot p = \dot p_{\text{prim}} + B\,\sinh(\beta q). \]

Le primaire approche exponentiellement son asymptote \( \varepsilon_\infty \) puis s’éteint (\( r \) est la vitesse de saturation) ; le secondaire persiste indéfiniment. La dépendance en sinh est ce qui permet à un seul jeu de paramètres de couvrir plusieurs décades de contrainte, là où une loi puissance échoue : \( \sinh \) est linéaire à faible contrainte et exponentiel à forte. Implicitement, l’équation du primaire s’inverse en un pas,

\[ p_{\text{prim}}^{B} = \frac{p_{\text{prim}}^{A} + \Delta t\,r\,A\,\sinh(\alpha q)}{1 + \Delta t\,r}. \]

La déformation primaire est suivie comme sa propre variable interne (p_prim), et non déduite du total. Ce n’est qu’à cette condition que la loi s’intègre correctement sous charge variable — toute la raison de préférer une forme en déformation à une forme en temps.

Chaboche, et sa variante endommageable

\[ f = J(\sigma - X) - R - k, \qquad \dot{p} = \left\langle \frac{f}{K} \right\rangle^n \] \[ \dot{X} = \tfrac{2}{3}C\,\dot{\varepsilon}_{vp} - \gamma X \dot{p}, \qquad \dot{R} = b(Q - R)\dot{p} \]

La contrainte de rappel X est ce qui rend la loi utilisable en cyclique : elle translate la surface de charge, si bien que la replastification en sens inverse survient tôt — l’effet Bauschinger, qu’aucune loi isotrope ne peut produire. γ est ce qui fait saturer la translation au lieu de la laisser croître sans borne (X → C/γ).

Les trois premières lois n’en portent pas, et c’est délibéré : un fluage décrit un régime monotone, où l’effet que modélise une contrainte de rappel ne se manifeste pas. Les deux dernières en portent, et cela leur coûte sept variables internes de plus.

Les crochets \( \langle\cdot\rangle \) sont la partie positive : sous la surface, la vitesse est nulle et le comportement redevient élastique. C’est la seule des cinq lois à porter un seuil k — un fluage n’en a pas.

La variante endommageable (Lemaitre-Chaboche) remplace partout la contrainte par la contrainte effective, au sens de la contrainte portée par la section restante :

\[ \tilde\sigma = \frac{\sigma}{1 - D}, \qquad \dot D = \left(\frac{Y}{S}\right)^{s}\dot p, \qquad Y = \frac{\tilde\sigma_{\text{eq}}^{2}}{2E}, \]

où \( Y \) est le taux de restitution d’énergie élastique, la force thermodynamique conjuguée de D — sa forme complète porte un facteur de triaxialité, pris ici à sa valeur déviatorique, simplification usuelle pour un trajet proportionnel. Un matériau endommagé flue plus vite, ce qui l’endommage davantage : c’est ce couplage qui produit le fluage tertiaire et, à D_c, la rupture. D ne décroît jamais et est écrêté à D_c.

L’intégration

La direction d’écoulement est gelée au prédicteur, ce qui rend le pas radial dans l’espace décalé et le ramène à la même équation scalaire que les fluages. Les deux variables d’écrouissage sont alors implicites en Δp :

\[ X_B = \frac{X_A + \tfrac23 C\,\Delta p\,\hat n}{1 + \gamma\,\Delta p}, \qquad R_B = \frac{R_A + b\,Q\,\Delta p}{1 + b\,\Delta p}, \]

où \( \hat n = \tfrac32 (s - X)/J \) est la direction gelée. Les deux sont l’inversion exacte des lois d’évolution discrétisées en Euler implicite, et l’on y voit apparaître directement les asymptotes : \( J(X) \to C/\gamma \) et \( R \to Q \) quand \( \Delta p \to \infty \).

Un traitement pleinement implicite ré-évaluerait la direction, au prix d’un Newton tensoriel ; le geler est le schéma semi-implicite usuel, d’erreur du second ordre en le pas.

J(σ̃ − X) en fin de pas est calculé sur les tenseurs, non réduit à une formule scalaire. La réduction est faisable mais délicate — la contrainte de rappel en début de pas n’est pas parallèle à la direction d’écoulement — et une erreur y serait invisible. Construire le tenseur ne peut pas l’être.

Mise en donnée (Rust, testé)

use pyrucast::aggregate::Aggregate;
use pyrucast::atoms::{ElementType, Node};
use pyrucast::containers::element_field::ElementField;
use pyrucast::containers::finite_element_space::FiniteElementSpace;
use pyrucast::containers::mesh::{Mesh, SubMesh};
use pyrucast::containers::model::Model;
use pyrucast::containers::node_field::{NodeField, SubNodeField};
use pyrucast::coords::Coords;
use pyrucast::handle::Handle;
use pyrucast::models::plasticity::law::PlasticLaw;
use pyrucast::models::tensor::Kinematics;
use pyrucast::ops::element_field::{behavior::integrate, deformation, material_field};
use pyrucast::ops::model;
use pyrucast::Result;

const AXES: [&str; 3] = ["x", "y", "z"];

/// Norton: a steady creep with a strongly non-linear stress dependence.
const NORTON: &[(&str, f64)] = &[("E", 150_000.0), ("nu", 0.3), ("K", 400.0), ("n", 5.0)];

#[test]
fn norton_creep_follows_its_rate_law() -> Result<()> {
    let cube = Cube::new(PlasticLaw::CreepNorton, NORTON)?;
    // A step short enough that the stress barely relaxes, so the closed-form
    // rate at the trial stress is the right comparison.
    let dt = 1e-6;
    let state = cube.step(&uniaxial(2e-3), None, dt)?;
    let q = von_mises(&state.sigma);
    let expected = dt * (q / 400.0_f64).powf(5.0);
    assert!(
        (state.p - expected).abs() < 1e-3 * expected,
        "Δp = {}, expected dt·(q/K)^n = {expected}",
        state.p
    );
    Ok(())
}

Exemple Python

model = pyrucast.model.creep_norton(fes, "full_3d")
materials = pyrucast.element_field.material_field(
    model, [("E", 150_000.0), ("nu", 0.3), ("K", 400.0), ("n", 5.0)]
)

# The time step is mandatory: without it the law refuses to integrate.
strain = pyrucast.element_field.deformation(u, fes)
state = pyrucast.element_field.integrate_behavior(model, strain, materials, dt=1e-3)

# The output becomes the next step's `prev`.
state = pyrucast.element_field.integrate_behavior(
    model, strain, materials, prev=state, dt=1e-3
)

Compléments

Ce que valent les tests. Une loi visqueuse ne se contrôle pas sur une valeur de contrainte : elle se contrôle sur le temps. D’où des tests qui vérifient que Norton suit sa loi de vitesse en forme fermée sur un pas court, qu’une déformation maintenue relaxe d’autant plus que le pas est long, que le taux de Lemaitre décroît avec la déformation accumulée, que le primaire de Blackburn sature, que la contrainte de rappel de Chaboche s’établit puis plafonne sous C/γ, et que l’endommagement croît sans jamais guérir ni dépasser D_c. Et que toutes refusent d’intégrer sans dt.

Tangente. Aucune de ces lois n’a de tangente analytique : toutes l’obtiennent par perturbation, comme décrit au chapitre Lois d’écoulement plastique.

Ce qui n’est pas couvert. Une seule contrainte de rappel (la version de base de Chaboche ; deux en doubleraient l’état), et pas de dépendance à la température — les paramètres sont des composantes matériau, donc ils peuvent varier dans l’espace, mais ils ne sont pas fonction du champ thermique.