Lois d’endommagement

Introduction

L’endommagement décrit la perte de raideur d’un matériau qui se fissure, sans déformation permanente : la contrainte est la contrainte effective, dégradée. Comme pour la plasticité, la loi est un attribut du même modèle ([DamageLaw]) — mêmes degrés de liberté, même montage incrémental, seule change la loi qui transforme une déformation en contrainte dégradée.

S’y ajoute, du côté plastique, la plasticité poreuse de Gurson (model.gurson), où l’endommagement est une porosité qui rétrécit la surface de charge — voir plus bas.

Équations continues résolues

Les trois lois partagent le cadre de la mécanique de l’endommagement continu en variables d’état, avec la contrainte effective \( \tilde\sigma \) comme pivot :

• contrainte effective : \( \tilde\sigma = D_{\text{el}} : \varepsilon \), celle qu’aurait le matériau sain sous la même déformation ;
• dégradation : \( \sigma = (\mathbb I - \mathbb D) : \tilde\sigma \), où l’opérateur \( \mathbb D \) est un scalaire (Mazars), une paire de scalaires agissant sur des parts spectrales (Damage TC), ou un tenseur diagonal dans les axes matériau (SiC/SiC) ;
• moteur : un scalaire \( \tau \) construit sur \( \varepsilon \) ou \( \tilde\sigma \) — c’est lui qui décide ce à quoi la loi est sensible ;
• seuil et irréversibilité : une variable d’histoire \( r = \max\big(r_0,\ \max_{t’ \le t}\tau(t’)\big) \), non décroissante ;
• adoucissement : \( d = \Phi(r) \), croissante, avec \( \Phi(r_0) = 0 \).

Il n’y a pas de déformation permanente : à décharge complète, la contrainte revient à zéro par une droite de pente \( (1-d)E \). C’est ce qui distingue un endommagement d’une plasticité, et pourquoi ces lois n’ont pas de retour sur une surface — la mise à jour est explicite, en un pas, sans itérer.

Toute la variété des trois lois tient donc dans trois choix : celui du moteur \( \tau \), celui de la forme de \( \Phi \), et celui de la structure de \( \mathbb D \).

Mazars — un scalaire

Le moteur est une déformation équivalente construite sur les déformations principales positives,

\[ \tilde\varepsilon = \sqrt{\textstyle\sum_I \langle \varepsilon_I \rangle_+^2}, \qquad \kappa = \max_t \tilde\varepsilon, \]

qui répond à l’extension et est aveugle à la compression hydrostatique. Deux branches, traction et compression, partagent la même forme,

\[ D_\bullet(\kappa) = 1 - \frac{\varepsilon_{d0}(1 - A_\bullet)}{\kappa}

• \frac{A_\bullet}{\exp\big(B_\bullet(\kappa - \varepsilon_{d0})\big)}, \qquad \bullet \in {t, c}, \]

et sont mélangées par des poids issus du découpage de la contrainte effective :

\[ D = \alpha_t D_t + \alpha_c D_c, \qquad \alpha_t = \frac{\sum_I \langle\varepsilon^t_I\rangle_+ \langle\varepsilon_I\rangle_+} {\tilde\varepsilon^{\,2}}, \]

où \( \varepsilon^t \) est la déformation qu’induirait la seule part positive de \( \tilde\sigma \) (idem \( \alpha_c \) avec la part négative, et \( \alpha_t + \alpha_c = 1 \) sur un trajet proportionnel). C’est ce mélange qui permet à une seule loi de décrire un matériau un ordre de grandeur plus résistant en compression. La variable d’histoire unique étant \( \kappa \), l’endommagement ne guérit pas. Le détail — dont l’axisymétrie et la condensation en contraintes planes — est en page Endommagement de Mazars.

Damage TC — deux variables

Mélanger les deux branches en un scalaire a un coût : un matériau endommagé en compression l’est autant en traction, et le modèle ne peut pas représenter une fissure qui se referme et reprend de la charge.

Damage TC les garde séparées :

\[ \sigma = (1 - d^+)\,\tilde\sigma^+ + (1 - d^-)\,\tilde\sigma^- \]

où σ̃⁺ et σ̃⁻ sont les parties positive et négative de la contrainte effective, découpées sur ses valeurs principales. Chacune est dégradée par sa propre variable, si bien qu’un déchargement de la traction vers la compression retrouve la raideur en compression — l’effet unilatéral, ce qui rend la loi utilisable en cyclique.

Chaque endommagement a son moteur et son histoire :

\[ \tau^+ = \sqrt{\tilde\sigma^+ \!:\! \varepsilon}, \qquad \tau^- = \sqrt{\sqrt3\,\big|K\,\tilde\sigma^-{\text{oct}} + \tilde\tau^-{\text{oct}}\big|}, \] \[ r^\pm = \max\big(r_0^\pm,\ \max_t \tau^\pm\big), \qquad r_0^+ = \frac{f_t}{\sqrt E}, \qquad r_0^- = \frac{f_c}{\sqrt E}. \]

En traction, le moteur est l’énergie élastique stockée par la part positive. En compression, c’est une mesure octaédrique — contrainte normale \( \tilde\sigma^-{\text{oct}} = \tfrac13\operatorname{tr}\tilde\sigma^- \) et cisaillement \( \tilde\tau^-{\text{oct}} \) — qui répond au confinement, et non à la seule extension. Le coefficient K = 0,171 est la valeur usuelle, déduite du rapport des résistances biaxiale et uniaxiale.

Les deux lois d’adoucissement sont distinctes, et c’est délibéré :

\[ d^+ = 1 - \frac{r_0^+}{r^+}\, \exp\!\Big[A_t\Big(1 - \frac{r^+}{r_0^+}\Big)\Big], \] \[ d^- = 1 - \frac{r_0^-}{r^-}(1 - A_c)

• A_c \exp\!\Big[2\Big(1 - \frac{r^-}{r_0^-}\Big)\Big]. \]

Adoucissement exponentiel en traction — une fissure est fragile, la contrainte tombe dès le pic ; forme durcissante puis adoucissante en compression — le béton s’écrase avec un plateau, il ne casse pas net. A_t règle la pente de la première, A_c la résistance résiduelle de la seconde.

SiC/SiC — endommagement orthotrope

Un composite SiC/SiC est une matrice de carbure de silicium renforcée par des torons de fibres, généralement tissés. Il ne rompt ni comme un métal ni comme un béton : la matrice fissure d’abord, dans des plans normaux aux directions de torons, tandis que les fibres continuent de porter la charge à travers ces fissures. La raideur chute donc par direction, et très inégalement.

Aucun endommagement scalaire ne peut exprimer cela. Cette loi porte un endommagement par direction matériau :

\[ \kappa_i = \max_t \big\langle \varepsilon^{\text{mat}}{ii} \big\rangle+, \qquad d_i = d_{\max,i}\Big(1 - e^{-(\kappa_i - \varepsilon_{0,i})/\varepsilon_{c,i}}\Big) \quad \text{si } \kappa_i > \varepsilon_{0,i}, \]

où \( \varepsilon^{\text{mat}} = R^\top \varepsilon\,R \) est la déformation dans les axes matériau. Chaque direction a son seuil de première fissuration \( \varepsilon_{0,i} \), sa vitesse de saturation \( \varepsilon_{c,i} \) et son plafond \( d_{\max,i} \). La partie positive est essentielle : une fissure de matrice s’ouvre en extension et se referme en compression, si bien qu’une direction comprimée n’est pas dégradée du tout.

La dégradation s’applique dans ces mêmes axes, terme par terme :

\[ \sigma^{\text{mat}}{ij} = \sqrt{1 - d_i}\,\sqrt{1 - d_j}\; \tilde\sigma^{\text{mat}}{ij}, \qquad \sigma = R\,\sigma^{\text{mat}}\,R^\top . \]

Le produit \( \sqrt{1-d_i}\sqrt{1-d_j} \) garde l’opérateur symétrique et dégrade un terme de couplage autant que la plus faible des deux directions qu’il couple ; chaque cisaillement prend la paire qu’il cisaille. À \( d_i = d_j = d \) on retrouve exactement le facteur scalaire \( (1-d) \).

Le repère est le tissage

Les directions d’endommagement sont les axes matériau, fournis exactement comme pour l’élasticité orthotrope — par les vecteurs V1, V2 du champ matériau. Ce n’est pas une coïncidence : pour un composite tissé ce sont les directions de torons, et réutiliser le même repère donne gratuitement les bonnes directions maille par maille sur une pièce courbe.

Saturation, pas rupture

Chaque d_i sature à d_max,i plutôt que d’atteindre 1. C’est l’énoncé physique que la fissuration matricielle ne prend pas toute la raideur : les fibres restent, et un composite saturé porte encore le long de ses torons. Une loi laissant l’endommagement atteindre 1 prédirait un effondrement qui n’a pas lieu.

Gurson — la porosité comme endommagement

Un métal ductile ne rompt pas en atteignant une contrainte : il rompt parce que des cavités germent, croissent et coalescent jusqu’à ce que les ligaments entre elles ne portent plus. La surface de Gurson fait de la porosité f une variable interne explicite, qui rétrécit la surface de charge :

\[ \Phi = \left(\frac{q}{\sigma_y}\right)^2 + 2q_1 f^* \cosh\!\left(\frac{3q_2\sigma_m}{2\sigma_y}\right) - (1 + q_3 f^{*2}) \]

À f = 0 cela redonne exactement von Mises. Le cosh rend la contraction dépendante de la contrainte hydrostatique : les cavités croissent en traction triaxiale et se referment en compression. C’est cette sensibilité à la pression qui fait qu’une loi J2 ne peut jamais prédire une rupture ductile.

Coalescence — au-delà d’une porosité critique les cavités coalescent et l’effondrement s’accélère. Tvergaard et Needleman le modélisent en donnant à la surface une porosité effective \( f^* \), bilinéaire en f :

\[ f^* = \begin{cases} f & \text{si } f \le f_c,\\ f_c + \big(\tfrac{1}{q_1} - f_c\big)\dfrac{f - f_c}{f_f - f_c} & \text{sinon,} \end{cases} \]

qui atteint \( 1/q_1 \) — surface réduite à rien, \( \Phi \equiv 0 \) — à la porosité de rupture \( f_f \). La pente au-delà de \( f_c \) est l’accélération de la coalescence ; sans elle le modèle prédit une ductilité très supérieure à la réalité.

Croissance — la conservation de la masse, et rien de plus :

\[ \dot f = (1 - f)\,\operatorname{tr}\dot\varepsilon^p . \]

L’écoulement plastique sur cette surface n’est donc pas isochore — c’est exactement ce qui le distingue de von Mises, et ce qui rend la croissance possible. Le retour se fait par plan sécant à normale numérique, comme pour Ottosen, la porosité étant remise à jour à chaque itération à partir de la part volumique de l’incrément plastique. La germination n’est pas modélisée : seule la croissance depuis une porosité initiale \( f_0 \).

Mise en donnée (Rust, testé)

use pyrucast::aggregate::Aggregate;
use pyrucast::atoms::{ElementType, Node};
use pyrucast::containers::element_field::ElementField;
use pyrucast::containers::finite_element_space::FiniteElementSpace;
use pyrucast::containers::mesh::{Mesh, SubMesh};
use pyrucast::containers::model::Model;
use pyrucast::containers::node_field::{NodeField, SubNodeField};
use pyrucast::coords::Coords;
use pyrucast::handle::Handle;
use pyrucast::models::damage::law::DamageLaw;
use pyrucast::models::plasticity::law::PlasticLaw;
use pyrucast::models::tensor::Kinematics;
use pyrucast::ops::element_field::{behavior::integrate, deformation, material_field};
use pyrucast::ops::model;
use pyrucast::Result;

const AXES: [&str; 3] = ["x", "y", "z"];

const TC: &[(&str, f64)] = &[
    ("E", 30_000.0),
    ("nu", 0.2),
    ("f_t", 3.0),
    ("f_c", 30.0),
    ("A_t", 0.9),
    ("A_c", 0.5),
];

#[test]
fn a_closed_crack_carries_load_again() -> Result<()> {
    let cube = Cube::damage(DamageLaw::DamageTc, TC)?;
    // Stretch far enough to damage in tension…
    let damaged = cube.step(&uniaxial(1.5e-3), None)?;
    let d_plus = damaged.var("d_plus")?;
    let d_minus = damaged.var("d_minus")?;
    assert!(d_plus > 0.1, "tension must damage (d⁺ = {d_plus})");
    // …and the **compressive** damage is untouched: the crack has not crushed
    // anything. That separation is the whole point of two variables.
    assert!(
        d_minus < 1e-12,
        "compression must stay intact (d⁻ = {d_minus})"
    );

    // Now close the crack. The compressive stiffness is the undamaged one.
    let closed = cube.step(&uniaxial(-1e-4), Some(&damaged.field))?;
    let intact = cube.step(&uniaxial(-1e-4), None)?;
    assert!(
        (closed.sigma[0] - intact.sigma[0]).abs() < 1e-9 * intact.sigma[0].abs(),
        "a closed crack must carry the full compressive stress: {} vs {}",
        closed.sigma[0],
        intact.sigma[0]
    );
    Ok(())
}

Exemple Python

model = pyrucast.model.damage_tc(fes, "full_3d")
materials = pyrucast.element_field.material_field(
    model,
    [
        ("E", 30_000.0),
        ("nu", 0.2),
        ("f_t", 3.0),
        ("f_c", 30.0),
        ("A_t", 0.9),
        ("A_c", 0.5),
    ],
)
strain = pyrucast.element_field.deformation(u, fes)
state = pyrucast.element_field.integrate_behavior(model, strain, materials)
# `state` carries d_plus, d_minus, r_plus, r_minus — and becomes the next step's `prev`.

Compléments

Ce que valent les tests. Chaque loi est épinglée sur ce qu’elle fait et que les autres ne font pas : une fissure qui se referme reprend toute la charge en compression (Damage TC), l’écrasement laisse l’endommagement de traction intact, l’étirement selon un axe de tissage n’endommage que cette direction et sature à son plafond (SiC/SiC), et la porosité de Gurson croît sous traction triaxiale sans jamais décroître.

Une subtilité relevée en écrivant les tests. Sous une déformation purement compressive, les poids α de Mazars s’annulent et la loi ne rapporte aucun endommagement — propriété connue du modèle, et la raison même pour laquelle une variable compressive séparée vaut son coût.

État absent ≠ état nul. Une loi dont l’état démarre d’une constante matériau — la porosité initiale de Gurson — doit pouvoir distinguer « pas encore d’état » de « état à zéro ». Le premier pas passe donc un vecteur de variables vide, et non un vecteur de zéros. Sans cela un métal poreux démarrerait dense et ne s’endommagerait jamais.

Pas de tangente cohérente pour les lois d’endommagement : comme Mazars, elles ne déclarent pas de tangent_layout, et l’opérateur d’itération reste la rigidité élastique non endommagée. Gurson, qui est une plasticité, en a une (numérique).