Damage TC, SiC/SiC et Gurson

En bref

Trois lois où un matériau perd sa raideur en se dégradant :

Damage TC et SiC/SiC sont des lois d’endommagement, comme Mazars ; Gurson est une loi plastique.

Théorie

Le cadre de l’endommagement. La contrainte effective \(\tilde\sigma = D_\text{el} : \varepsilon\) est celle du matériau sain sous la même déformation ; la contrainte est sa version dégradée. Un moteur scalaire \(\tau\), construit sur \(\varepsilon\) ou \(\tilde\sigma\), alimente une variable d’histoire \(r = \max(r_0, \max_t \tau)\), qui ne décroît jamais, et l’endommagement est une fonction croissante de \(r\). Il n’y a pas de déformation permanente, et la mise à jour se fait en un pas, sans itérer.

Damage TC

Les parts positive et négative de la contrainte effective, découpées sur ses valeurs principales, sont dégradées chacune par sa variable :

\[ \sigma = (1 - d^+)\,\tilde\sigma^+ + (1 - d^-)\,\tilde\sigma^- . \]

Une fissure ouverte en traction qui se referme reprend donc toute la raideur en compression : c’est l’effet unilatéral, que le scalaire de Mazars ne peut pas rendre. Chaque variable a son moteur et son histoire :

\[ \tau^+ = \sqrt{\tilde\sigma^+ : \varepsilon}, \qquad \tau^- = \sqrt{\sqrt3\,\big|K\,\tilde\sigma^-_\text{oct} + \tilde\tau^-_\text{oct}\big|}, \qquad r_0^+ = \frac{f_t}{\sqrt E}, \quad r_0^- = \frac{f_c}{\sqrt E}, \]

l’énergie élastique de la part positive en traction, une mesure octaédrique (contrainte normale \(\tfrac13\operatorname{tr}\tilde\sigma^-\) et cisaillement) sensible au confinement en compression, avec \(K = 0{,}171\). L’adoucissement est exponentiel en traction, durcissant puis adoucissant en compression :

\[ d^+ = 1 - \frac{r_0^+}{r^+}\,e^{A_t(1 - r^+/r_0^+)}, \qquad d^- = 1 - \frac{r_0^-}{r^-}(1 - A_c) - A_c\,e^{2(1 - r^-/r_0^-)} . \]

SiC/SiC

Dans un composite tissé, la matrice fissure dans des plans normaux aux torons, et les fibres continuent de porter la charge : la raideur chute par direction. Chaque direction matériau \(i\) a son endommagement, piloté par la déformation dans les axes matériau \(\varepsilon^\text{mat} = R^{\mathsf T}\varepsilon R\) :

\[ \kappa_i = \max_t \langle\varepsilon^\text{mat}_{ii}\rangle_+, \qquad d_i = d_{\max,i}\Big(1 - e^{-(\kappa_i - \varepsilon_{0,i})/\varepsilon_{c,i}}\Big) \ \text{si } \kappa_i > \varepsilon_{0,i} . \]

Une direction comprimée n’est pas dégradée. La dégradation s’applique terme à terme dans les axes matériau, \(\sigma^\text{mat}_{ij} = \sqrt{1-d_i}\sqrt{1-d_j}\;\tilde\sigma^\text{mat}_{ij}\), ce qui garde l’opérateur symétrique. Chaque \(d_i\) sature à \(d_{\max,i}\) au lieu d’atteindre 1 : les fibres restent. Les axes sont ceux de l’orthotropie, les vecteurs V1 (et V2 en 3-D) du matériau ; l’élasticité, elle, est isotrope.

Gurson

La porosité \(f\) rétrécit la surface de charge :

\[ \Phi = \Big(\frac{q}{\sigma_y}\Big)^2 + 2\,q_1 f^* \cosh\!\Big(\frac{3\,q_2\,\sigma_m}{2\,\sigma_y}\Big) - \big(1 + q_3\,f^{*2}\big), \]

qui redonne von Mises à \(f = 0\). Le cosh rend la surface sensible à la pression : les cavités croissent en traction triaxiale. Au-delà d’une porosité critique \(f_c\), une porosité effective \(f^*\), bilinéaire en \(f\), accélère la coalescence et atteint \(1/q_1\) à la porosité de rupture \(f_f\). La porosité croît par conservation de la masse, \(\dot f = (1 - f)\,\operatorname{tr}\dot\varepsilon^p\), à partir de sa valeur initiale \(f_0\) ; la germination n’est pas modélisée. L’écoulement n’est donc pas isochore. Le retour se fait par plan sécant à normale numérique, comme celui d’Ottosen, et la tangente par perturbation.

Variables

Selon la cinématique :

En axisymétrie, eps_zz et sigma_zz sont les composantes orthoradiales.

La sortie du comportement est la contrainte, suivie de l’état. Matériau facultatif pour les trois lois : rho, alpha.

Ce qu’elles produisent

Exemple

Une maille en traction sous Damage TC : seule la variable de traction croît.

modele = pyrucast.model.damage_tc(fes, "plane_stress")
materiaux = pyrucast.element_field.material_field(
    modele,
    [("E", 30e3), ("nu", 0.2), ("f_t", 3.0), ("f_c", 30.0), ("A_t", 0.9), ("A_c", 0.5)],
)
eps = pyrucast.element_field.strain(modele, u, materiaux)
etat = pyrucast.element_field.integrate_behavior(
    modele, eps, materiaux, pyrucast.element_field.initial_state(modele, materiaux)
)
print(
    etat[0].value(0, 0, "d_plus") > 0, etat[0].value(0, 0, "d_minus")
)  # True 0.0 : traction seule

Côté Rust

Damage TC et SiC/SiC vivent dans src/models/damage/, Gurson dans src/models/plasticity/gurson.rs. Une loi déclare l’état qu’elle relit. L’état de repos que rend initial_state est nul, sauf la porosité de Gurson : la loi déclare qu’elle part de f_0 (initial_internal_sources), et l’état de repos la lit dans le matériau.

tests/damage_laws.rs vérifie qu’une fissure refermée reprend la charge en compression, que l’écrasement laisse l’endommagement de traction intact, qu’étirer un axe de tissage n’endommage que lui et sature à son plafond, que la porosité de Gurson croît en traction triaxiale et qu’un métal poreux plastifie avant un métal dense.

use pyrucast::aggregate::Aggregate;
use pyrucast::atoms::{ElementType, Node};
use pyrucast::containers::element_field::ElementField;
use pyrucast::containers::finite_element_space::FiniteElementSpace;
use pyrucast::containers::mesh::{Mesh, SubMesh};
use pyrucast::containers::model::Model;
use pyrucast::containers::node_field::{NodeField, SubNodeField};
use pyrucast::coords::Coords;
use pyrucast::handle::Handle;
use pyrucast::models::damage::law::DamageLaw;
use pyrucast::models::plasticity::law::PlasticLaw;
use pyrucast::models::tensor::Kinematics;
use pyrucast::ops::element_field::{
    behavior::{initial_state, integrate},
    deformation, material_field, StrainMeasure,
};
use pyrucast::ops::model;
use pyrucast::Result;

const AXES: [&str; 3] = ["x", "y", "z"];

const TC: &[(&str, f64)] = &[
    ("E", 30_000.0),
    ("nu", 0.2),
    ("f_t", 3.0),
    ("f_c", 30.0),
    ("A_t", 0.9),
    ("A_c", 0.5),
];

#[test]
fn a_closed_crack_carries_load_again() -> Result<()> {
    let cube = Cube::damage(DamageLaw::DamageTc, TC)?;
    // Stretch far enough to damage in tension…
    let damaged = cube.step(&uniaxial(1.5e-3), &cube.rest()?)?;
    let d_plus = damaged.var("d_plus")?;
    let d_minus = damaged.var("d_minus")?;
    assert!(d_plus > 0.1, "tension must damage (d⁺ = {d_plus})");
    // …and the **compressive** damage is untouched: the crack has not crushed
    // anything. That separation is the whole point of two variables.
    assert!(
        d_minus < 1e-12,
        "compression must stay intact (d⁻ = {d_minus})"
    );

    // Now close the crack. The compressive stiffness is the undamaged one.
    let closed = cube.step(&uniaxial(-1e-4), &damaged.field)?;
    let intact = cube.step(&uniaxial(-1e-4), &cube.rest()?)?;
    assert!(
        (closed.sigma[0] - intact.sigma[0]).abs() < 1e-9 * intact.sigma[0].abs(),
        "a closed crack must carry the full compressive stress: {} vs {}",
        closed.sigma[0],
        intact.sigma[0]
    );
    Ok(())
}