Coques

En bref

Une coque est une surface qui porte à la fois des efforts de membrane (dans son plan) et des moments de flexion : une tôle, une paroi de réservoir, une dalle mince.

formulation est "thick" (Reissner-Mindlin, cisaillement transverse intégré de façon réduite) ou "kirchhoff" (Kirchhoff discret, DKT et DKQ, sans cisaillement). Les deux partagent les inconnues, le repère local et la membrane ; seuls la flexion et le cisaillement changent. Chaque maille est une facette plane : une forte courbure demande un maillage plus fin.

Théorie

Six inconnues par nœud. Trois translations et trois rotations, u_x…u_z, r_x…r_z, comme le cadre spatial des poutres : une coque et un portique partagent leurs nœuds sans adaptateur. La sixième, la rotation autour de la normale (le vrillage), n’a pas de raideur physique sur une facette plane ; elle est liée à la rotation propre de la membrane, ce qui ne s’oppose pas à une rotation rigide de la facette. Cette liaison travaille : elle a un effort conjugué, M_drill.

Le repère local de chaque élément est construit depuis ses nœuds : la première arête et la normale de la facette. Les dérivées dans le plan de la facette sont le gradient tangent de la géométrie, projeté sur ce repère.

Reissner-Mindlin (thick). La fibre normale reste droite mais pas normale à la surface déformée ; dans l’épaisseur \(z \in [-h/2, h/2]\),

\[ u_x = u + z\,\theta_y, \qquad u_y = v - z\,\theta_x, \qquad u_z = w . \]

Les déformations se séparent en membrane \(\varepsilon\), courbures \(\kappa\) et cisaillement transverse \(\gamma\). Pour un matériau homogène en contraintes planes, intégré dans l’épaisseur, les lois de section sont

\[ D_m = \frac{E h}{1-\nu^2}\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac{1-\nu}2 \end{bmatrix}, \qquad D_b = \frac{h^2}{12}\,D_m, \qquad D_s = k_s\,G\,h , \]

avec \(k_s = 5/6\) par défaut (composante k_s), qui corrige un cisaillement supposé uniforme dans l’épaisseur. La raideur est \(\int_A (B_m^{\mathsf T} D_m B_m + B_b^{\mathsf T} D_b B_b + B_s^{\mathsf T} D_s B_s)\), la membrane et la flexion intégrées complètement, le cisaillement en un point. Intégré complètement, ce terme, en \(h\), écraserait la flexion, en \(h^3\), quand la coque s’amincit : l’élément refuserait de fléchir (blocage en cisaillement).

Kirchhoff discret (kirchhoff). La fibre reste normale, \(\gamma = 0\). Plutôt que des dérivées secondes de la flèche, qui demanderaient une base \(C^1\), la rotation est interpolée quadratiquement et \(\gamma = 0\) est imposé aux sommets et le long de chaque arête ; les rotations de milieu d’arête sont ensuite éliminées. Rien n’est dérivé deux fois et la base reste de Lagrange. La limite mince est exacte par construction : il n’y a pas de cisaillement à bloquer. L’effort tranchant d’une plaque mince est alors une réaction, pas une sortie de la loi.

Variables

L’entrée vient de pyrucast.element_field.shell_deformation, ou de strain : membrane, flexion et vrillage à chaque point de Gauss, cisaillement au seul point réduit.

Ce qu’elle produit

Exemple

Une facette carrée, ses inconnues et son matériau :

c = pyrucast.Coords(3)
n = [
    c.add_node(p)
    for p in ([0.0, 0.0, 0.0], [1.0, 0.0, 0.0], [1.0, 1.0, 0.0], [0.0, 1.0, 0.0])
]
surface = pyrucast.Mesh(c, "QUA4")
surface.unit().add_cell(n)
coque = pyrucast.model.shell(
    pyrucast.FiniteElementSpace(surface), "thick"
)  # ou "kirchhoff"
print(coque[0].primal_vars())  # ['u_x', 'u_y', 'u_z', 'r_x', 'r_y', 'r_z']
print(coque[0].material_components())  # ['E', 'nu', 'h']
materiaux = pyrucast.element_field.material_field(
    coque, [("E", 210e3), ("nu", 0.3), ("h", 0.01)]
)
K = pyrucast.matrix.stiffness(coque, materiaux)
print(K.n_rows)  # 24 : six inconnues par nœud

Côté Rust

Shell (src/models/shell.rs, src/models/shell/) porte sa formulation en attribut (ShellFormulation). Les deux formulations construisent leur \(B\) au même endroit (shell::b_into) et ne diffèrent que par ses lignes de flexion. thick intègre sur deux sous-espaces du même maillage, à quadrature complète et réduite ; la physique les construit elle-même.

Les tests retrouvent la flèche d’une plaque carrée encastrée sous charge uniforme et vérifient que le maillage converge ; ils mesurent la flèche normalisée d’une plaque mince sur deux décades d’épaisseur, qu’un élément bloqué perdrait ; ils vérifient la membrane, et qu’une rotation rigide ne coûte aucune énergie.

use pyrucast::aggregate::Aggregate;
use pyrucast::atoms::{ElementType, Node};
use pyrucast::containers::finite_element_space::FiniteElementSpace;
use pyrucast::containers::mesh::{Mesh, SubMesh};
use pyrucast::containers::model::Model;
use pyrucast::containers::node_field::{NodeField, SubNodeField};
use pyrucast::coords::Coords;
use pyrucast::handle::Handle;
use pyrucast::models::shell::ShellFormulation;
use pyrucast::ops::model;
use pyrucast::ops::solver::solve;
use pyrucast::Result;

const E: f64 = 210_000.0;
const NU: f64 = 0.3;
/// Side of the square plate.
const A: f64 = 1.0;
/// Uniform transverse pressure.
const Q: f64 = 1.0;

#[test]
fn a_clamped_plate_matches_its_textbook_deflection() -> Result<()> {
    let h = 0.01; // thin enough to compare with plate theory, thick enough to be safe
    let w = central_deflection(12, h, ShellFormulation::Thick, ElementType::QUA4)?;
    // Timoshenko & Woinowsky-Krieger: w_max = 0.00126 · qa⁴/D.
    let d = E * h * h * h / (12.0 * (1.0 - NU * NU));
    let exact = 0.00126 * Q * A.powi(4) / d;
    assert!(
        (w - exact).abs() < 0.06 * exact,
        "central deflection {w}, textbook {exact}"
    );
    Ok(())
}

La même plaque en Kirchhoff discret, triangles et quadrangles :

#[test]
fn a_clamped_plate_matches_its_textbook_deflection_in_discrete_kirchhoff() -> Result<()> {
    let h = 0.01;
    let d = E * h * h * h / (12.0 * (1.0 - NU * NU));
    let exact = 0.00126 * Q * A.powi(4) / d;
    for element in [ElementType::QUA4, ElementType::TRI3] {
        let w = central_deflection(12, h, ShellFormulation::Kirchhoff, element)?;
        assert!(
            (w - exact).abs() < 0.03 * exact,
            "{element:?}: central deflection {w}, textbook {exact}"
        );
    }
    Ok(())
}